Descartes

        
Descartes  

A Matemática

"Comprazia-me sobretudo com as Matemáticas, por causa da certeza e da evidência de suas razões; mas não notava ainda seu verdadeiro emprego, e, pensando que serviam apenas às artes mecânicas, espantava-me de que, sendo seus fundamentos tão firmes e tão sólidos, não se tivesse edificado sobre eles nada de mais elevado. Tal como, ao contrário, eu comparava os escritos dos antigos pagãos que tratam de costumes a palácios muito soberbos e magníficos, erigidos apenas sobre a areia e a lama. Erguem muito alto as virtudes e apresentam-nas como as mais estimáveis entre todas as coisas que existem no |⁴⁶ mundo; mas não ensinam bastante a conhecê-las, e amiúde o que chamam com um nome tão belo não é senão uma insensibilidade, ou um orgulho, ou um desespero, ou um parricídio".

Descartes, Discurso do Método

O interesse de Descartes pela matemática surgiu cedo, no College de la Flèche, escola do mais alto padrão, dirigida por jesuítas, na qual ingressara aos oito anos de idade. Mas por uma razão muito especial e que já revelava seus pendores filosóficos: a certeza que as demonstrações ou justificativas matemáticas proporcionam. Aos vinte e um anos de idade, depois de frequentar rodas matemáticas em Paris (além de outras), já graduado em Direito, ingressa voluntariamente na carreira das armas, uma das poucas opções “dignas” que se ofereciam a um jovem como ele, oriundo da nobreza menor da França. Durante os quase nove anos que serviu em vários exércitos, não se sabe de nenhuma proeza militar realizada por Descartes. A geometria analítica de Descartes apareceu em 1637 no pequeno texto chamado Geometria, como um dos três apêndices do Discurso do Método, obra considerada o marco inicial da filosofia moderna. Nela, em resumo, Descartes defende o método matemático como modelo para a aquisição de conhecimentos em todos os campos.

Os Matemáticos consideram Descartes muito importante por sua descoberta da geometria analítica. 

Até Descartes, a geometria e a álgebra apareciam como ramos completamente separados da Matemática. Descartes mostrou como traduzir problemas de geometria para a álgebra, abordando esses problemas através de um sistema de coordenadas. A teoria de Descartes forneceu a base para o cálculo de Isaac Newton e Gottfried Leibniz, e então, para muito da matemática moderna. Isso parece ainda mais incrível tendo em mente que esse trabalho foi intencionado apenas como um exemplo no seu "Discurso Sobre o Método".

Sistema de Coordenadas Cartesiano

Coordenadas cartesianas de alguns pontos do plano.

Chama-se Sistema de Coordenadas no plano cartesiano ou espaço cartesiano ou plano cartesiano um esquema reticulado necessário para especificar pontos num determinado "espaço" com dimensões. Cartesiano é um adjetivo que se refere ao matemático francês e filósofo René Descartes que, entre outras coisas, desenvolveu uma síntese da álgebra com a geometria euclidiana. Os seus trabalhos permitiram o desenvolvimento de áreas científicas como a geometria analítica, o cálculo e a cartografia.

A idéia para este sistema foi desenvolvida em 1637 em duas obras de Descartes:

• Discurso Sobre o Método
  • Na segunda parte, Descartes apresenta a ideia de especificar a posição de um ponto ou objecto numa superfície, usando dois eixos que se intersectam.
  • 
    
• La Géométrie
  • onde desenvolve o conceito que apenas tinha sido referido na obra anterior.

Um sistema de referência consiste em um ponto de origem, direção e sentido, isto pode ser obtido de diversas formas, como já tivemos oportunidade de estudar anteriormente, porém, o sistema de coordenadas cartesianas é o mais próximo do mundo real, ele nos permite observar as formas da maneira mais aproximada possível do nosso modo de ver o Universo.

Propriedades

Com base nestes princípios, imaginemos que o nosso universo é uma linha, ou seja, imagine se não pudéssemos enxergar mais que uma direção e dois sentidos, então nessa linha teríamos um ponto de partida, ao qual chamamos de origem, ao passo que temos dois lados para ir, adotamos a convenção em que o sinal nos informa o sentido em que caminhamos, para a direita -> +, para a esquerda -> -, cada ponto sobre a reta tem uma distância da origem, à qual chamamos amplitude, ou módulo... desta forma, temos o nosso sistema bem caracterizado. Um sistema de referência como tal é chamado de sistema em uma dimensão, porém não é algo muito útil, no entanto se adicionarmos mais uma reta na origem, formando um ângulo reto com a reta anterior, poderemos referenciar uma segunda direção, agora temos um sistema em duas dimensões, que nos permite localizar um ponto acima e abaixo, além da direita ou esquerda... Se fizermos a mesma analogia e colocarmos uma terceira reta sobre a origem do sistema anterior, fazendo um ângulo reto com ambas as retas anteriores, poderemos localizar um objeto para frente ou para trás, além de acima ou abaixo e além da direita e esquerda, então teremos um sistema em três dimensões. A convenção mais usada nos sistemas de referência, estabelece que os sentidos:Para frente, para a direita e para cima são positivos e os seus opostos são negativos. Um sistema de coordenadas tridimensionais pode ser obtido através desta estrutura de três eixos que se interceptam em um único ponto, ao qual chamamos de origem e que também marca uma distinção angular entre os eixos, fazendo com que cada um seja reto em relação aos vizinhos. Nos sentidos positivos coloca-se uma seta para indicar a progressão crescente dos valores. Num sistema como este cada eixo recebe o nome associado a variável que é expressa, ou seja,, que representam as três direções do sistema.

Localização de pontos

Coordenadas cartesianas.

Agora observe o sistema acima, nele podemos observar a distribuição das variáveis em seus eixos, note que o eixo vertical correspondente à altura é convencionado como eixo , o horizontal, correspondente à largura é convencionalmente chamado de eixo, enquanto que o último, na diagonal, correspondente à profundidade, é chamado de eixo , cada segmento de eixo partindo da origem gera um octante, visto que o sistema tem oito sub-planos partindo da origem.

A tripla ordenada no formato, corresponde a um único ponto no sistema, o qual é encontrado através do reflexo dos valores nos eixos, da seguinte forma:

Se desejarmos encontrar o ponto  localizamos o valor 3 no eixo , depois o zero no eixo , estes dois valores determinam uma linha sobre o eixo , depois localizamos o valor 5no eixo  e traçamos uma sub-reta paralela à linha que encontramos anteriormente, nesta altura, no lado oposto ao eixo  na direção da sub-reta está o ponto.

Por outro lado se desejarmos encontrar o ponto  localizamos o valor -5 no eixo, depois o -5 no eixo , estes dois valores determinam um plano sobre os eixos  e , depois localizamos o valor 7 no eixo  e traçamos um sub-plano paralelo ao plano anteriormente encontrado, nesta altura, no lado oposto ao eixo , na direção do encontro das duas sub-retas que definem o plano, está o ponto.

Planos primários

Definimos planos primários como o conjunto de pontos sobre o gráfico que estão eqüidistantes dos planos formados por qualquer combinação de dois eixos.

Suponha que definimos um dos valores da tripla ordenada, por exemplo:

•  ou,
•  ou,
• .

Onde  é uma constante.

Temos, em cada caso, um plano definido como paralelo ao plano dos dois eixos restantes, pois qualquer valor que seja dado às demais variáveis da tripla ordenada será projetado sobre o plano que foi definido.

Distância entre pontos

Em um sistema bidimensional temos a distância entre dois pontos definida como:

Para um sistema tridimensional a analogia segue o mesmo raciocínio, o que nos revela a seguinte fórmula:

Comprovação:

No plano  a distância entre os dois pontos do sub-plano  é , para obter a distância no espaço, precisamos encontrar a distância ., mais precisamente a distância do ponto extremo, resultante do encontro dos valores de  e , com o valor em . Esta distância  corresponde a , logo:

O que define o seu valor após a substituição de , resultando na fórmula definida anteriormente.

A esfera

Por definição, a esfera é o conjunto de todos os pontos no espaço que estão equidistantes de um ponto específico, ao qual denominamos centro. Considerando que as coordenadas de qualquer ponto são  e que podemos especificar um ponto de coordenadas , a distância entre os pontos é:

Definimos , que é o raio da esfera, conseqüentemente:

Quaisquer conjuntos de pontos que constituem uma esfera também são delimitadores de um espaço no interior da mesma que gera um volume, o qual pode ser calculado pelo cálculo de volumes com a técnica de secionamento por Lâminas paralelas.

In blog Biografias e curiosidades

Lola