Lógica Proposicional: Tautologias, contradições e contingencias

Lógica Proposicional: Tautologias, contradições e contingências

A partir do cálculo dos valores lógicos de uma determinada proposição em função destes mesmos valores lógicos, poderemos concluir se estamos perante uma tautologia, uma contradição ou uma contingência.

Para isso, devemos considerar apenas os valores lógicos da ultima coluna da tabela de verdade, ou seja, os valores que dizem respeito à formula proposicional completa.

Quando esses valores são todos verdadeiros, estamos perante uma tautologia;

Quando esses valores são todos falsos estamos perante uma contradição;

No caso da fórmula proposicional apresentar valores verdadeiros e falsos estamos perante uma contingência.

Tautologias

Há proposições que podem ser verdadeiras para todas as interpretações das suas variáveis proposicionais.

Por exemplo, P ∨ ¬P é sempre verdadeira, qualquer que seja a interpretação de P, como se pode ver pela tabela de verdade seguinte:

P	P ∨ ¬P
V	V
F	V

(Regra da disjunção: a disjunção inclusiva é FALSA 

quando ambas são FALSAS).

 

Contradições

Outras proposições são falsas para todos os casos possíveis, como, por exemplo, P ∧ ¬P. A estas proposições chama-se contradições.

P	P ∧ ¬P
V	F
F	F

(Regra da Conjunção: a conjunção é verdadeira quando ambas são verdadeiras)

Contingências

As proposições que para algumas combinações dos valores de verdade das suas variáveis proposicionais são verdadeiras e para outras falsas chamam-se contingências. 

Eis um exemplo simples:

P	Q	P ∧ Q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

(Regra da Conjunção: a conjunção é verdadeira quando ambas são verdadeiras)

A fórmula P ∧ Q é uma contingência, porque para uma interpretação das suas variáveis proposicionais (a que considera P e Q verdadeiras) é verdadeira; e para todas as outras interpretações falsa. 

Assim, qualquer fórmula é uma tautologia, uma contradição ou uma contingência.

Tarefa: 

2. Determine, por intermédio de uma tabela de verdade, se as seguintes fórmulas são tautologias, contradições ou contingências.

a. (P ∨ ¬P) ↔ (¬P ∧ P)
b. (P → Q) ∨ (P ↔ ¬Q)
c. (¬P ∨ Q) ∧ (P ∧ ¬Q)
d. (¬P ∧ ¬Q) ∨ ((P ∨ Q) → ¬R)
e. (Q ∧ R) ↔ ((P ∨ Q) ∧ R)

 Resolução:

a. 

P	~P	(PV~P)	↔	(~PɅP)
V	F	VVFV	F	FVFV
F	V	FVVF	F	VFFF
CONTRADIÇÃO

 

b. 

P	Q	~Q	(P→Q	V	(P↔ ¬Q)
V	V	F	VVV	V	VFFV
V	F	V	VFF	V	VVVF
F	V	F	FVV	V	FVFV
F	F	V	FVF	V	FFVF
TAUTOLOGIA

 (Regra da disjunção: a disjunção inclusiva é

 FALSA 

quando ambas são FALSAS).

c. 

d. 

P	Q	R	¬P	¬Q	¬R	(¬P ∧ ¬Q)	V	( (P ∨ Q) → ¬R)
V	V	V	F	F	F	FFF	F	VFF
V	V	F	F	F	V	FFF	V	VVV
V	F	V	F	V	F	FFV	F	VFF
V	F	F	F	V	V	FFV	V	VVV
F	V	V	V	F	F	VFF	F	VFF
F	V	F	V	F	V	VFF	V	VVV
F	F	V	V	V	F	VVV	V	FVF
F	F	F	V	V	V	VVV	V	FVV
CONTINGENCIA

(Regra da disjunção: a disjunção inclusiva é FALSA 

quando ambas são FALSAS).

e.

 (A completar....)

                                                 Lola